数学 | 2025虹口二模 T21 (3)

对于定义在 ​\mathbf{R} 上的函数 ​y=f(x) 和 ​y=g(x)，​a\in\mathbb{R}，设
​M_a=\{t\mid t=f(x)-g(a),\ x\ge a\}。

（3）已知对任意 ​a\in\mathbf{R}，均有 ​M_a=[0,+\infty)，记 ​h(x)=g(x)-a，求证：“对任意 ​a\in\mathbf{R}，函数 ​y=h(x) 零点个数均有限”的充分条件是“​y=f(x) 在 ​\mathbf{R} 上是严格增函数”。

探索

首先，充分性是显然的。在探索充分性的过程中，注意到必有 ​f(a)=g(a) 对任意 ​a \in R 恒成立，从而推出 ​f(x)=g(x) 。说明 ​M_a=[0,+\infty) 中的 ​0 是关键的。尝试围绕此展开证明。

对于必要性，​h(x) 零点个数有限的几何直观为不存在一段区间为常值或者不存在一个 ​T ，使得对满足 ​f(x_0)=C 的 ​x_0 ，均有 ​f(x_0+kC)=f(x_0),k \in \mathbb{Z} 。对于后者，情况较为复杂，且题目与周期性无关，直观认为不能用于本题。

接下来思考：从充分性中知道 ​f(a)=g(a) 若成立，严格增是显然的，如果存在 ​x_0 > a : f(x_0)=g(a) 呢？

假设 ​x_1,x_2 满足 ​x_1<x_2 \land f(x_2)=g(x_1) ，显然的，对任意 ​x_0 \in (x_1,x_2) 满足 ​g(x_0) \le g(x_1) 。分两种情况讨论，小于或者等于。若存在这样的 ​x_0 使得 ​g(x_0)<g(x_1) ，那么必定存在 ​x_0' \in [x_0,+\infty) 使得 ​f(x_0')=g(x_0) 。​x_0' 在 ​(x_1,x_2) 上时显然不行，大于等于 ​x_2 时，又与 ​M_{x_2}=[0,+\infty) 矛盾，显然无法小于。那么只能有 ​g(x_0)=g(x_1) 在区间上成立，与有限解的条件矛盾。

这样就能证明 ​f(x)=g(x) 后续就是简单的。

证明（AI）

记命题 ​P 为“对任意 ​a\in\mathbb{R}，函数 ​h(x)=g(x)-a 的零点个数均有限”，命题 ​Q 为“​f(x) 在 ​\mathbb{R} 上严格增”。下面证明在题设 ​M_a=[0,+\infty) 恒成立的条件下，​P 与 ​Q 等价，从而特别地，​Q 是 ​P 的充分条件。

一方面，若 ​f(x) 在 ​\mathbb{R} 上严格增，则由 ​0\in M_a 可知，存在 ​x_0\ge a，使得 ​f(x_0)=g(a)。又由 ​M_a=[0,+\infty)，取 ​x=a，得 ​f(a)\ge g(a)。若 ​x_0>a，则由 ​f(x) 严格增，得 ​f(x_0)>f(a)\ge g(a)，这与 ​f(x_0)=g(a) 矛盾。因此仅有可能 ​x_0=a，即对任意 ​a\in\mathbb{R}，均有 ​f(a)=g(a)，从而 ​f(x)=g(x) 在 ​\mathbb{R} 上恒成立。

于是 ​g(x) 也在 ​\mathbb{R} 上严格增。任取 ​a\in\mathbb{R}，若 ​h(x)=g(x)-a 有两个不同零点 ​x_1,x_2，不妨设 ​x_1<x_2，则 ​g(x_1)=g(x_2)=a。但 ​g(x) 严格增，应有 ​g(x_1)<g(x_2)，矛盾。因此 ​h(x)=g(x)-a 的零点至多只有一个，故零点个数有限，即 ​Q\Rightarrow P。

另一方面，若对任意 ​a\in\mathbb{R}，函数 ​h(x)=g(x)-a 的零点个数均有限，先证 ​g(x) 在 ​\mathbb{R} 上严格增。任取 ​a,b\in\mathbb{R}，且 ​a<b。由于 ​0\in M_b，存在 ​x_0\ge b，使得 ​f(x_0)=g(b)。又因为 ​x_0\ge b>a，由 ​M_a=[0,+\infty) 可知 ​f(x_0)-g(a)\ge 0，即 ​g(b)\ge g(a)。所以 ​g(x) 在 ​\mathbb{R} 上单调不减。

若存在 ​a<b，使得 ​g(a)=g(b)，则由 ​g(x) 单调不减可知，对任意 ​x\in[a,b]，均有 ​g(a)\le g(x)\le g(b)，从而 ​g(x)=g(a)。于是函数 ​g(x)-g(a) 在区间 ​[a,b] 上恒为 ​0，零点有无穷多个，这与 ​P 矛盾。因此当 ​a<b 时，必有 ​g(a)<g(b)，即 ​g(x) 在 ​\mathbb{R} 上严格增。

接下来证明 ​f(x)=g(x)。由 ​0\in M_a，对任意 ​a\in\mathbb{R}，存在 ​x_0\ge a，使得 ​f(x_0)=g(a)。若 ​x_0>a，则由 ​g(x) 严格增可得 ​g(x_0)>g(a)。而由 ​M_{x_0}=[0,+\infty)，取 ​x=x_0，得 ​f(x_0)\ge g(x_0)。于是 ​g(a)=f(x_0)\ge g(x_0)>g(a)，矛盾。因此只能有 ​x_0=a，从而 ​f(a)=g(a)。由于 ​a 任意，故 ​f(x)=g(x) 在 ​\mathbb{R} 上恒成立。

因为 ​g(x) 在 ​\mathbb{R} 上严格增，且 ​f(x)=g(x)，所以 ​f(x) 在 ​\mathbb{R} 上严格增，即 ​P\Rightarrow Q。

综上，在题设条件下，“对任意 ​a\in\mathbb{R}，函数 ​h(x)=g(x)-a 的零点个数均有限”等价于“​f(x) 在 ​\mathbb{R} 上严格增”。因此，“​f(x) 在 ​\mathbb{R} 上严格增”是“对任意 ​a\in\mathbb{R}，函数 ​h(x) 零点个数均有限”的充分条件。