高等代数（一）1.2：线性表示与行列式 • xy0v0's Blog

1 线性表示与线性方程组

以下设 $P$ 为数域，向量均写成列向量。

定义 1.1 (线性表示). 设 $\boldsymbol\alpha_1,\ldots,\boldsymbol\alpha_m,\boldsymbol\beta\in P^n$ 。若存在 $x_1,\ldots,x_m\in P$ ，使得 $\boldsymbol\beta=x_1\boldsymbol\alpha_1+\cdots+x_m\boldsymbol\alpha_m,$ 则称 $\boldsymbol\beta$ 可由向量组 $\boldsymbol\alpha_1,\ldots,\boldsymbol\alpha_m$ 线性表示。

记 $\boldsymbol\alpha_j=(a_{1j},\ldots,a_{nj})^{\mathsf T}$ 、 $\boldsymbol\beta=(b_1,\ldots,b_n)^{\mathsf T}$ ，则上述向量等式等价于方程组 $\sum_{j=1}^m a_{ij}x_j=b_i,\qquad i=1,\ldots,n.$ 线性表示的存在性与唯一性，分别对应方程组是否有解及解是否唯一。 $a_{ij}$ 表示第 $j$ 个向量的第 $i$ 个分量，即系数矩阵第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素。

例题 1.2. 求 $(2,1,4)^{\mathsf T}$ 由 $(1,1,2)^{\mathsf T}$ 、 $(1,2,1)^{\mathsf T}$ 、 $(1,1,1)^{\mathsf T}$ 构成的向量组的线性表示。

证明. 待定系数满足 $\begin{cases}x_1+x_2+x_3=2,\\x_1+2x_2+x_3=1,\\2x_1+x_2+x_3=4.\end{cases}$ 第二式减第一式得 $x_2=-1$ ，第三式减第一式得 $x_1=2$ ，回代得 $x_3=1$ 。故所求表示的系数唯一，为 $(2,-1,1)^{\mathsf T}$ 。 ◻

定义 1.3 (标准单位向量). $P^n$ 中第 $i$ 个分量为 $1$ 、其余分量为 $0$ 的向量记为 $\boldsymbol e_i$ ，称为第 $i$ 个标准单位向量。

任意 $\boldsymbol a=(a_1,\ldots,a_n)^{\mathsf T}\in P^n$ 都有唯一表示 $\boldsymbol a=a_1\boldsymbol e_1+\cdots+a_n\boldsymbol e_n.$ 因为 $\sum_{i=1}^n c_i\boldsymbol e_i$ 的第 $i$ 个分量为 $c_i$ ，所以该向量等于 $\boldsymbol a$ 当且仅当 $c_i=a_i$ （ $i=1,\ldots,n$ ）。

2 二阶行列式

命题 2.1 (表示的唯一性). 若 $\boldsymbol\beta$ 可由 $\boldsymbol\alpha_1,\ldots,\boldsymbol\alpha_m$ 线性表示，则表示唯一当且仅当齐次方程 $z_1\boldsymbol\alpha_1+\cdots+z_m\boldsymbol\alpha_m=\boldsymbol0$ 只有零解。

证明. 若 $x_1,\ldots,x_m$ 与 $y_1,\ldots,y_m$ 是两组表示系数，两式相减得 $\sum_{j=1}^m(x_j-y_j)\boldsymbol\alpha_j=\boldsymbol0$ 。若齐次方程只有零解，则 $x_j=y_j$ ，表示唯一。反之，若齐次方程有非零解 $(z_1,\ldots,z_m)^{\mathsf T}$ ，则在一组表示系数 $x_j$ 上加上 $z_j$ ，得到另一组不同的表示系数。 ◻

非零解指各分量不全为零，并非每个分量都非零。

定义 2.2. 设 $\boldsymbol\alpha_1=(a_{11},a_{21})^{\mathsf T}$ 、 $\boldsymbol\alpha_2=(a_{12},a_{22})^{\mathsf T}\in P^2$ ，定义二阶行列式 $D=\det(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2) =\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$

行列式是由方阵确定的一个数。一阶行列式定义为 $\det(a)=a$ ，不能将其与绝对值混淆。

命题 2.3. 齐次方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2=0,\\a_{21}x_1+a_{22}x_2=0\end{cases}$ 有非零解，当且仅当 $D=0$ 。

证明. 若 $D\ne0$ ，第一式乘 $a_{22}$ 后减去第二式的 $a_{12}$ 倍，得 $Dx_1=0$ ；第二式乘 $a_{11}$ 后减去第一式的 $a_{21}$ 倍，得 $Dx_2=0$ 。于是 $x_1=x_2=0$ ，方程组只有零解。

若 $D=0$ ，分以下情形讨论：

当 $(a_{11},a_{12})\ne(0,0)$ 时，取 $(x_1,x_2)=(-a_{12},a_{11})$ 。第一式显然成立，第二式左端为 $-a_{21}a_{12}+a_{22}a_{11}=D=0$ ，故这是非零解。
当第一行全为零而第二行非零时， $(-a_{22},a_{21})$ 是非零解。
当两行全为零时， $(1,0)$ 是非零解。

综上，结论成立。 ◻

上述消元没有除以某个指定系数，因而也包含 $a_{11}=0$ 的情形。在 $\mathbb{R}^2$ 中，存在不全为零的 $x_1,x_2$ 使 $x_1\boldsymbol\alpha_1+x_2\boldsymbol\alpha_2=\boldsymbol0$ ，等价于两向量共线，其中包括含零向量的退化情形。

3 二阶行列式的几何意义

命题 3.1. 设 $u=(a,b)^{\mathsf T}$ 、 $v=(c,d)^{\mathsf T}\in\mathbb{R}^2$ ，则以 $u,v$ 为邻边的平行四边形面积为 $S=|ad-bc|=|\det(u,v)|.$

证明. 若有一个向量为零，等式两边均为零。否则，设两向量的夹角为 $\theta\in[0,\pi]$ 。由点积公式与平行四边形面积公式， $u\cdot v=ac+bd=\|u\|\|v\|\cos\theta,\qquad S=\|u\|\|v\|\sin\theta.$ 因此 $\begin{align*} S^2 &=\|u\|^2\|v\|^2-(u\cdot v)^2\\ &=(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2\\ &=a^2d^2+b^2c^2-2abcd=(ad-bc)^2. \end{align*}$ 由于 $S\ge0$ ，所以 $S=|ad-bc|$ 。 ◻

在标准直角坐标系中，以 $(\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2)$ 为正向， $\det(u,v)$ 表示有向面积。对不共线的 $u,v$ ，从 $u$ 到 $v$ 的较小转角为逆时针时取正号，为顺时针时取负号。交换向量顺序，行列式变号，普通面积不变。特别地， $\det(u,v)=0$ 当且仅当平行四边形退化，即 $u,v$ 共线。

4 叉积与混合积

在 $\mathbb{R}^3$ 的标准右手直角坐标系中，设 $u=(u_1,u_2,u_3)^{\mathsf T}$ 、 $v=(v_1,v_2,v_3)^{\mathsf T}$ ，其叉积为 $u\times v= \begin{pmatrix} u_2v_3-u_3v_2\\u_3v_1-u_1v_3\\u_1v_2-u_2v_1 \end{pmatrix}.$ 点积的结果是数，叉积的结果是向量。由坐标公式直接展开可得 $(u\times v)\cdot u=(u\times v)\cdot v=0,$ $\|u\times v\|^2=\|u\|^2\|v\|^2-(u\cdot v)^2.$ 因此叉积垂直于两个原向量；当两向量非零、夹角为 $\theta$ 时，其长度为 $\|u\|\|v\|\sin\theta$ ，等于所张平行四边形的面积，方向由右手定则确定。若两向量共线，则叉积为零。叉积满足 $u\times v=-v\times u$ ，且 $\boldsymbol e_1\times\boldsymbol e_2=\boldsymbol e_3,\quad \boldsymbol e_2\times\boldsymbol e_3=\boldsymbol e_1,\quad \boldsymbol e_3\times\boldsymbol e_1=\boldsymbol e_2.$

定义 4.1 (混合积). 对 $u,v,w\in\mathbb{R}^3$ ，数 $(u\times v)\cdot w$ 称为它们的混合积。

命题 4.2. 以 $u,v,w$ 为棱的平行六面体体积为 $V=|(u\times v)\cdot w|.$

混合积是有向体积，正、负分别对应有序向量组 $(u,v,w)$ 的右手、左手定向。混合积为零当且仅当三向量共面，这里将三个向量的起点置于同一点。若 $u,v$ 不共线，则 $u\times v$ 是其所在平面的法向量， $(u\times v)\cdot w=0$ 等价于 $w$ 在该平面内；若 $u,v$ 共线，它们与任意 $w$ 都共面，混合积也为零。

5 三阶行列式

混合积的坐标展开

设 $\boldsymbol\alpha_j=\sum_{i=1}^3a_{ij}\boldsymbol e_i =(a_{1j},a_{2j},a_{3j})^{\mathsf T},\qquad j=1,2,3.$ 由叉积、点积对加法的分配律， $(\boldsymbol\alpha_1\times\boldsymbol\alpha_2)\cdot\boldsymbol\alpha_3 =\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3 a_{i1}a_{j2}a_{k3}(\boldsymbol e_i\times\boldsymbol e_j)\cdot\boldsymbol e_k.$ 右端共有 $27$ 项。若 $i=j$ ，则 $\boldsymbol e_i\times\boldsymbol e_j=\boldsymbol0$ ；若 $i\ne j$ 而 $k=i$ 或 $k=j$ ，则叉积垂直于 $\boldsymbol e_k$ ，相应点积为零。故只有 $i,j,k$ 两两不同的六项可能非零。由标准单位向量的叉积关系， $\begin{align*} (\boldsymbol e_1\times\boldsymbol e_2)\cdot\boldsymbol e_3 &=(\boldsymbol e_2\times\boldsymbol e_3)\cdot\boldsymbol e_1 =(\boldsymbol e_3\times\boldsymbol e_1)\cdot\boldsymbol e_2=1,\\ (\boldsymbol e_2\times\boldsymbol e_1)\cdot\boldsymbol e_3 &=(\boldsymbol e_1\times\boldsymbol e_3)\cdot\boldsymbol e_2 =(\boldsymbol e_3\times\boldsymbol e_2)\cdot\boldsymbol e_1=-1. \end{align*}$ 从而 $\begin{align*} (\boldsymbol\alpha_1\times\boldsymbol\alpha_2)\cdot\boldsymbol\alpha_3 &=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}\\ &\quad-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}. \end{align*}$ 每项从三个列向量中各取一个分量；非零的基向量混合积要求所取行号互不相同，因而每项也恰好从每行取一个元素。

定义 5.1 (三阶行列式). 设 $A=(a_{ij})_{3\times3}$ 的元素属于数域 $P$ ，其三阶行列式定义为 $\begin{align*} \det A &=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\\ &=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\ &\quad-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}. \end{align*}$

实数情形下，三阶行列式等于三个列向量的混合积，其绝对值为平行六面体体积。由于坐标公式只涉及加、减、乘运算，可将它作为任意数域上的定义，但面积、体积的几何解释限于实数情形。

6 三阶行列式的性质

以下记 $D(u,v,w)=\det(u,v,w)$ ，其中 $u,v,w\in P^3$ 按列排列。

命题 6.1 (多重线性). 行列式对每一列分别线性。即对任意 $s,t\in P$ ， $D(su+tu',v,w)=sD(u,v,w)+tD(u',v,w),$ 对第二列、第三列也有相应等式。

证明. 六项公式中的每一项恰好含有第一列的一个分量。将该分量替换为 $su_i+tu_i'$ ，利用分配律展开，并按 $s,t$ 分组，便得到所需等式。对其余两列同理。 ◻

这里的线性是指固定其余各列，只对一列进行运算。因此 $D(su,tv,rw)=strD(u,v,w),$ 而当两列同时为向量之和时，必须分别展开： $\begin{align*} D(u+u',v+v',w) &=D(u,v,w)+D(u,v',w)\\ &\quad+D(u',v,w)+D(u',v',w). \end{align*}$

命题 6.2 (反对称性). 交换任意两列，行列式变号： $\begin{align*} D(u,v,w)&=-D(v,u,w),\\ D(u,v,w)&=-D(u,w,v),\\ D(u,v,w)&=-D(w,v,u). \end{align*}$

证明. 在六项公式中交换相应两列，三个正项与三个负项一一对换，所以所得行列式等于原行列式的相反数。 ◻

循环移动三列相当于交换两次，故 $D(u,v,w)=D(v,w,u)=D(w,u,v).$ 若两列相同，交换后行列式不变，而由反对称性又得到 $D=-D$ ，故 $D=0$ 。这里 $P\subseteq\mathbb{C}$ ，因此 $2\ne0$ 。结合多重线性，有 $D(u,v+cu,w)=D(u,v,w)+cD(u,u,w)=D(u,v,w).$ 即把一列的倍数加到另一列上，行列式不变。

7 一般行列式

二阶与三阶行列式的每一项均从每行、每列各取一个元素。为描述一般情形及各项的符号，引入排列与逆序数。

定义 7.1 (排列与逆序数). 将 $1,2,\ldots,n$ 各使用一次得到的序列 $\sigma(1),\ldots,\sigma(n)$ 称为一个排列，所有排列的集合记为 $S_n$ 。若 $i<j$ 而 $\sigma(i)>\sigma(j)$ ，则称这两个位置构成一个逆序。逆序总数记为 $N(\sigma)$ ；逆序数为偶数的排列称为偶排列，为奇数的称为奇排列。

例如排列 $312$ 中， $3$ 与后面的 $1,2$ 分别构成逆序，故逆序数为 $2$ ，是偶排列。排列 $321$ 的逆序数为 $3$ ，是奇排列。

定义 7.2 (一般行列式). 设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 的元素属于数域 $P$ ，定义 $\det A=\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{N(\sigma)}\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}.$

对每个排列 $\sigma$ ，从第 $i$ 行选取第 $\sigma(i)$ 列的元素。由于列号互不相同，每列也恰好取一次；将所取元素相乘，偶排列取正号，奇排列取负号。共有 $n!$ 个排列，故定义式含 $n!$ 个形式项，每项含 $n$ 个因子。数值计算时，其中一些项可以为零。

三阶情形中，各项与排列的对应为 $\begin{array}{c|c|c} \text{列号排列}&\text{逆序数}&\text{展开项}\\\hline 123&0&+a_{11}a_{22}a_{33}\\ 231&2&+a_{12}a_{23}a_{31}\\ 312&2&+a_{13}a_{21}a_{32}\\ 321&3&-a_{13}a_{22}a_{31}\\ 132&1&-a_{11}a_{23}a_{32}\\ 213&1&-a_{12}a_{21}a_{33} \end{array}$ 这与混合积得到的六项公式一致。混合积展开按每列选一行，上述定义按每行选一列，二者选出的元素组合相同。三阶行列式的对角线记忆法不能直接推广到四阶及以上。

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