数学分析（一）2.3：数列极限的计算

证明. 若 $a>1$，令 $t_n=a^{1/n}-1>0$，由二项式定理， $$a=(1+t_n)^n\ge1+nt_n,\qquad 0<t_n\le\frac{a-1}{n}\longrightarrow0.$$ 由夹逼定理，$a^{1/n}=1+t_n\to1$。 $a=1$ 时显然成立；若 $0<a<1$，对 $1/a>1$ 应用上式，再取倒数即可。

令 $s_n=n^{1/n}-1\ge0$。当 $n\ge2$ 时， $$n=(1+s_n)^n\ge\binom n2s_n^2,\qquad 0\le s_n\le\sqrt{\frac2{n-1}}\longrightarrow0.$$ 故 $n^{1/n}\to1$。 ◻

证明. 方法一。 已知对每个固定的 $c>0$，有 $c^n/n!\to0$。 任取 $\varepsilon>0$，令 $c=1/\varepsilon$。存在 $N$，使 $n>N$ 时 $$\frac{(1/\varepsilon)^n}{n!}<1, \qquad 0<\frac1{\sqrt[n]{n!}}<\varepsilon.$$ 故所求极限为 $0$。

方法二。 当 $n\ge2$ 时，$n!$ 中至少有 $n/2$ 个因子不小于 $n/2$， 其余因子均不小于 $1$，因而 $$n!\ge\left(\frac n2\right)^{n/2},\qquad 0<\frac1{\sqrt[n]{n!}}\le\sqrt{\frac2n}\longrightarrow0.$$ 再由夹逼定理得结论。 ◻

解. （1） 分子、分母同除以 $n^3$，得 $$\frac{n^3+2n^2}{2n^3+1} =\frac{1+2/n}{2+1/n^3}\longrightarrow\frac12.$$ （2） 同除以 $n^3$，得 $$\frac{3n^2+2}{2n^3+1} =\frac{3/n+2/n^3}{2+1/n^3}\longrightarrow0.$$ （3） 同除以 $n^4$，得 $$\frac{n^5+2}{2n^4+n^3} =\frac{n+2/n^4}{2+1/n}\ge\frac n3\longrightarrow+\infty.$$ 所以第三个数列趋于正无穷，不收敛于有限实数。 ◻

解. 将根式之差有理化，得 $$\sqrt n\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt n\bigr) =\frac{\sqrt n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} =\frac1{\sqrt{1+1/n}+1}\longrightarrow\frac12.$$ ◻

解. 分三种情形讨论。

1. 若 $a=1$，则各项均为 $1/2$，故极限为 $1/2$。

2. 若 $|a|<1$，由 $a^n\to0$，得 $a^n/(a^n+1)\to0$。

3. 若 $|a|>1$，则 $(1/a)^n\to0$，从而 $$\frac{a^n}{a^n+1}=\frac1{1+(1/a)^n}\longrightarrow1.$$

因此 $$\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{a^n+1} =\begin{cases} 0,&|a|<1,\\ \tfrac12,&a=1,\\ 1,&|a|>1. \end{cases}$$ $a=-1$ 时奇数项的分母为零，不能构成题设的数列。 ◻