大学基础物理实验1.2：测量基础知识

1.2 误差的定义、分类和简要处理方法

直接测量与间接测量

直接用仪器测得待测量的过程称为直接测量；通过测量其他量，再由函数关系求得待测量的过程称为间接测量。例如，圆柱体积由直径 $d$ 和高 $h$ 间接确定： $$V=\frac{\pi d^2h}{4}.$$

误差

误差分类与修正

• 系统误差在相同测量条件下具有稳定的偏向。仪器零点偏移、刻度校准偏差、测量原理或近似模型不完善等均可能引入系统误差。设读数中的系统偏差估计值为 $\Delta_s$，则修正值为 $$x_{\mathrm{修正}}=x_{\mathrm{读数}}-\Delta_s.$$

• 随机误差由测量过程中难以控制的因素引起，其影响大小和方向具有随机性。同一量的重复测量结果会出现散布。取多次测量的平均值可减弱随机误差的影响，但不能消除系统误差。

• 粗大错误主要由操作、读数或记录失误引起。发现异常数据时，应核查测量过程和原始记录；仅凭数据偏离平均值较大，不能判定为粗大错误。

重复测量的平均值与标准差

对同一待测量在相同条件下进行 $n$ 次测量，所得数据记为 $x_1,\ldots,x_n$。算术平均值 $$\overline{x}=\frac1n\sum_{i=1}^n x_i$$ 作为多次测量结果的中心估计。随机偏差有正有负，求平均可使其部分抵消；测量中若存在共同的系统偏差，该偏差仍保留在平均值中。

样本标准差定义为 $$s_x=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}{n-1}}.$$ 残差 $x_i-\overline{x}$ 满足 $\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})=0$，因此自由度为 $n-1$；估计总体方差时以 $n-1$ 为分母。

平均值的标准差为 $$s_{\overline{x}}=\frac{s_x}{\sqrt n}.$$ 若各次测量相互独立且具有相同方差，则平均值的方差为单次测量方差的 $1/n$，故其标准差按 $1/\sqrt n$ 缩小。$s_x$ 描述单次测量数据的散布，$s_{\overline{x}}$ 描述平均值的散布。

1.3 不确定度和实验结果的表示

误差 $e=x-x_0$ 是测量值与真值之差；不确定度则依据测量数据及仪器等信息评定，用于表征测量结果的可信程度。实验结果通常表示为 $$x=\overline{x}\pm U.$$ 其中 $\overline{x}$ 为测量结果的中心值，$U$ 为不确定度。区间 $[\overline{x}-U,\overline{x}+U]$ 给出真值所在范围的估计，其覆盖概率取决于所用的评定方法。

A类评定、B类评定与合成不确定度

A类评定通过重复测量数据的统计分析评定不确定度；B类评定采用其他方法，依据仪器指标、分辨力、校准证书等信息评定不确定度。A、B类按评定方法区分，与随机误差、系统误差的来源分类并非一一对应。

本节采用基础实验中的近似处理：在 A、B 类分量相互独立时，用方和根估计合成不确定度 $$U=\sqrt{\Delta_A^2+\Delta_B^2}.$$ 若各分量之间存在相关性，则需计入相关项。

相对不确定度定义为 $$E_x=\frac{U}{\left|\overline{x}\right|}\times100\%,\qquad \overline{x}\ne0.$$ 绝对不确定度 $U$ 与测量量具有相同单位；相对不确定度为无量纲量，常以百分数表示，便于比较不同量级的测量结果。

一般评定中，先将各分量换算为标准不确定度，再合成为 $u_c$；扩展不确定度为 $U=ku_c$，其中 $k$ 为包含因子。对正态分布，$k\approx2$ 时覆盖概率约为 $95\%$。上述基础实验近似式不等同于这一标准不确定度合成过程。

1.4 直接测量结果的不确定度估计

A类不确定度

重复测量 $n$ 次时，平均值的 A 类不确定度为 $$\Delta_A=t(p,n-1)s_{\overline{x}} =t(p,n-1)\frac{s_x}{\sqrt n},$$ 其中 $p$ 为置信水平，$t(p,n-1)$ 为自由度 $n-1$ 对应的双侧 $t$ 因子。该式适用于相互独立、服从同一正态分布的重复测量数据。

当 $n=6$–$10$ 时，基础实验常简化取 $\Delta_A\approx s_x$，对应的置信水平约为 $94\%$–$99\%$。指定置信水平或给定 $t$ 因子时，应按完整公式计算。

B类不确定度

直接测量中，常以仪器误差限 $\Delta_{\text{仪}}$ 近似 $\Delta_B$。对按满量程百分比规定误差限的仪表，设准确度等级为 $c$ 级，满量程为 $X_{\text{量程}}$，则 $$\Delta_{\text{仪}}=\frac{c}{100}X_{\text{量程}}.$$ 准确度等级以满量程为基准。例如，量程为 $75\,\mathrm{mV}$、准确度等级为 $0.5$ 级的仪表，其仪器误差限为 $$\Delta_{\text{仪}}=0.5\%\times75\,\mathrm{mV} =0.375\,\mathrm{mV}\approx0.38\,\mathrm{mV}.$$

合成不确定度与结果表示

对已作系统误差修正的直接测量结果，按上述近似方法， $$U=\sqrt{\Delta_A^2+\Delta_B^2},\qquad x=\overline{x}_{\mathrm{修正}}\pm U.$$ 单次测量无法由重复数据评定 A 类不确定度。若其他影响相对仪器误差限可忽略，可简化取 $U\approx\Delta_{\text{仪}}$。

1.5 间接测量结果的不确定度估计

一般传播公式

设间接测量量 $N$ 由直接测量量 $x_1,\ldots,x_m$ 决定： $$N=f(x_1,x_2,\ldots,x_m),\qquad \overline{N}=f(\overline{x}_1,\overline{x}_2,\ldots,\overline{x}_m).$$ 在测量值附近对 $f$ 作一阶线性近似，输出量的变化满足 $$\delta N\approx\sum_{i=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_i}\,\delta x_i.$$ 偏导数在测量值处计算，表示 $N$ 对相应输入量的局部灵敏度。若各输入量相互独立，且各不确定度采用相同的包含因子，则一阶近似下 $$U_N=\sqrt{\sum_{i=1}^m \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}U_{x_i}\right)^2}.$$ 该式要求测量值附近的一阶线性近似有效。包含因子不同时，应先换算为标准不确定度再传播；输入量相关时还需计入协方差项。基础实验中也常将此式用于上述近似不确定度的传播。

幂函数的相对不确定度

若 $$N=Cx^a y^b z^c,$$ 则一阶相对变化为 $$\frac{\delta N}{N}\approx a\frac{\delta x}{x}+b\frac{\delta y}{y}+c\frac{\delta z}{z}.$$ 令 $E_x=U_x/\left|x\right|$，在各量非零且满足上述传播条件时， $$E_N=\sqrt{(aE_x)^2+(bE_y)^2+(cE_z)^2}.$$ 幂指数体现输入量对结果的相对灵敏度。例如，$N$ 与 $x^2$ 成正比时，$x$ 的相对不确定度对 $N$ 的贡献为 $2E_x$。若以百分数表示各相对不确定度，代入时应统一使用百分数。

对三角函数，角度不确定度须以弧度表示。例如 $y=\sin\theta$ 时， $$U_y\approx\left|\cos\theta\right|\,U_\theta,$$ 若角度以度给出，应先换算为弧度再代入。

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