数学分析（一）2.2：收敛数列的性质 • xy0v0's Blog

2 收敛数列的性质

以下均设 $\{x_n\}$ 为实数列。若存在 $a\in\mathbb R$ 使 $\forall\varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb N_{+},\quad \forall n>N,\quad |x_n-a|<\varepsilon,$ 则记 $x_n\to a$ 。

定理 2.2 (唯一性). 若 $x_n\to a$ 且 $x_n\to b$ ，则 $a=b$ 。

证明. 反设 $a\ne b$ 。取 $\varepsilon=|a-b|/3>0$ 。由 $x_n\to a$ ，存在 $N_1$ 使 $n>N_1$ 时 $|x_n-a|<\varepsilon$ ；由 $x_n\to b$ ，存在 $N_2$ 使 $n>N_2$ 时 $|x_n-b|<\varepsilon$ 。取 $n>\max\{N_1,N_2\}$ ，由三角不等式得 $|a-b|\le |a-x_n|+|x_n-b|<2\varepsilon =\frac23|a-b|,$ 矛盾。因此 $a=b$ 。 ◻

定理 2.3 (有界性). 若 $x_n\to a$ ，则数列 $\{x_n\}$ 有界，即存在 $M>0$ ，使得对一切 $n\in\mathbb N_{+}$ 都有 $|x_n|\le M$ 。

证明. 取 $\varepsilon=1$ 。由 $x_n\to a$ ，存在 $N\in\mathbb N_{+}$ ，使 $n>N$ 时 $|x_n-a|<1.$ 于是对 $n>N$ ， $|x_n|\le |x_n-a|+|a|<1+|a|.$ 前 $N$ 项只有有限项，令 $M=\max\bigl\{|x_1|,\ldots,|x_N|,1+|a|\bigr\},$ 则对所有 $n\in\mathbb N_{+}$ 都有 $|x_n|\le M$ ，故数列有界。 ◻

定理 2.4 (保号性). 若 $x_n\to a$ 且 $a>0$ ，则存在 $N\in\mathbb N_{+}$ ，使 $n>N$ 时 $x_n>0$ 。若 $a<0$ ，则存在 $N\in\mathbb N_{+}$ ，使 $n>N$ 时 $x_n<0$ 。

证明. 先设 $a>0$ 。在极限定义中取 $\varepsilon=a/2$ ，则存在 $N$ ，使 $n>N$ 时 $|x_n-a|<\frac a2.$ 因此 $x_n\ge a-|x_n-a|>a-\frac a2=\frac a2>0.$ 若 $a<0$ ，取 $\varepsilon=|a|/2$ ，则 $x_n\le a+|x_n-a|<a+\frac{|a|}{2}=\frac a2<0$ 对充分大的 $n$ 成立。 ◻

最终区间性质

保号性可推广为：若 $x_n\to a$ ，且 $b<a<c$ ，则存在 $N\in\mathbb N_{+}$ ，使 $n>N\quad\Longrightarrow\quad b<x_n<c.$ 证明时取 $\varepsilon=\min\{a-b,c-a\}>0.$ 当 $n>N$ 时， $|x_n-a|<\varepsilon$ ，于是 $b\le a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon\le c.$ 因此，收敛数列从某一项起始终落在任意包含其极限的开区间内。

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