条件概率下的全概率公式的一般形式

引入

两个盒子，一个盒子5白球5黑球，另一个盒子4白球6黑球，等概率选一个盒子，再从盒子中不放回摸两次球，第一次摸出球是白球情况下第二次摸出球是黑球的概率？

对于这个问题，一个直观但错误的解法是令事件 ​A 为取到第一个盒子，事件 ​B_i 为第 ​i 次取到白球，其中 ​i \in \{1,2\}

由于 ​A,\bar A 是对样本空间 ​\Omega 的一个划分，只需计算 ​P((B_2|B_1)\cap A)+P((B_2|B_1)\cap \bar A)

这种计算方式的错误可从两方面来看：

1. 全概率公式的是针对事件的概率，而非针对“条件概率”的直接加和。这种计算结果实则认为“第一次摸球的结果”和“盒子的选择”是独立的，显然错误。
2. 更直观的理解，第一次摸球是白色的条件，会导致两盒子被抽到的概率并不是等价的，而是白球更多的盒子被抽到的概率更大。

这道题的一种解决办法如下：

从这种解法出发，尝试推导在条件概率下的全概率公式。

符号翻译

事件 ​A_i 是对样本空间 ​\Omega 的一个划分，其中 ​i \in \{1,2,3\cdots ,n\} 。需求：​P(B|C)

计算

根据条件概率的定义，​P(B|C)=\frac{P(B \cap C)}{P(C)} 。使用类似于正确解法中的拆分，我们得到如下式子：

又有 ​P(B \cap C \cap A_i)=P(B \cap (A_i \cap C)) = P(B|(A_i \cap C))P(A_i \cap C) ，代回上式，可得：

至此，我们得到了条件概率下的全概率公式的一般形式。