数学 | 函数证明 (2)

题目

21. 设 ​y=f(x) 是定义在 ​D 上的函数，若对任何实数 ​\alpha\in(0,1) 以及 ​D 中的任意两个实数 ​x_1,x_2，恒有​f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\le \alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2)，则称 ​y=f(x) 为 ​C 函数。

（3）若 ​y=f(x) 是定义域为 ​\mathbb{R} 的 ​C 函数，求证：“存在实数 ​k，使得 ​f(x)=kx 恒成立”是“存在非零实数 ​T，使得 ​f(x+T)=f(x)+f(T) 恒成立”的充要条件。

探索

题目给出的 ​f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\le \alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2) 条件几何性质较为明显，可与凹函数联系，发现几何性质即函数图像上任意两点连线，两点间的函数图像都在连线上方（或者连线上）。

充分性显然。对于必要性，首先不难发现 ​f(0)=0 ，可将原条件化为 ​\frac{f(x+T)-f(x)}{T}=\frac{f(T)}{T} ，几何上即函数上任意横坐标相距为T的两点连线斜率等于 ​(T,f(T)) 与原点连线的斜率。尝试分析，如果要推出 ​f(x)=kx 恒成立，那么 ​k 只能为 ​\frac{f(T)}T 。因此只需证明任意横坐标差为 ​t 的两点连线斜率也都等于 ​\frac{f(T)}T，再由任意性推出 ​f(x)=kx。

而观察 ​f(x+T)=f(x)+f(T) 容易与周期性联系，由经验，知 ​g(x)=f(x)-\frac{f(T)}{T}x 为周期函数。

又有 ​f(0)=0 ，只需要证明 ​[0,T] 一个周期内 ​g(x) 为值为0的常值函数即可。

又观察到题目中不等式若有 ​f(x_1)=f(x_2) 那么等式右边就可化为 ​f(x_1) 。后续步骤相对简单。

证明

充分性 ......

必要性 ：由题意，​f(0+T)=f(0)+f(T) ，则有 ​f(0)=0 .

令 ​g(x)=f(x)-\frac{f(T)}{T}x ，先证：​g(x) 是以 ​T 为周期的函数。

任取 ​x_0 \in \mathbb{R} ，​g(x+T)=f(x)+f(T)-\frac{f(T)}T(x+T)=f(x)-\frac{f(T)}T x = g(x) ，得证。

下证 ： ​g(x) 为 ​C 函数。

由 ​f 为 ​C 函数，有 ​f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\le \alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2)。两边同时减去 ​k(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)，便得 ​g(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2)\le \alpha g(x_1)+(1-\alpha)g(x_2)，所以 ​g(x) 也是 ​C 函数。得证。

再证：​g(x) 在 ​[0,T] 上恒有 ​g(x)=0 .

首先： ​g(0)=g(T)=0 。任取 ​x\in(0,T) ，由题意取 ​\alpha=\frac x T \in (0,1), x_1=T,x_2=0 ，代入得 ​f(x)\le f(0) ; 取 ​\alpha=-\frac x T,x_1=x+T,x_2=x ，代入得 ​f(x) \ge f(0) 。由此得 ​f(x)=f(0) 。得证。

由以上两个结论可知在 ​\mathbb{R} 上恒有 ​g(x)=0 即 ​f(x)=\frac {f(T)}T x ，取 ​k=\frac{f(T)}T 即可。