数学 | 函数证明 (1)

题目

定义在 ​\mathbb{R} 上连续，且存在导函数的函数 ​f(x) 满足 ​f'(x)=f(x+1) 。求证：​f(x) 在 ​[0,3] 上至少存在一个零点。

证明

考虑反证，即假设 ​f(x) 在 ​[0,3] 上不存在零点。由连续性性质，知道 ​f(x) 在 ​[0,3] 上要么恒正，要么恒负。

先考虑恒正的情况，即 ​\forall x \in [0,3] : f(x)>0 .

考虑 ​x\in[0,1]，​f''(x)=f'(x+1)=f(x+2)>0 (\because x+2 \in [2,3] \subset [0,3]) \Rightarrow f'(x) 在 ​[0,1] 上严格增。

构造函数 ​F(x)=f(x)-xf'(0) ，有 ​F'(x)=f'(x)-f'(0) . 由单调性知，当 ​x\in[0,1] 时，有 ​F'(x)\ge0 成立，且当且仅当 ​x=0 时取等，故 ​F(x) 在 ​[0,1] 上严格增。

那么有 ​F(1)>F(0) 即 ​f(1)-f'(0)>f(0) 整理得 ​f(0)+f'(0)<f(1)=f'(0) ，那么有 ​f(0)<0 ，与假设条件矛盾。

若恒负，令 ​g(x)=-f(x) 满足 ​g'(x)=g(x+1) ，后续证明与恒正情况一致。

综上，假设不成立，得证。