高等代数（一）1.1：数域与向量初步 • xy0v0's Blog

1 数域

定义 1.1 (数域). 设 $P\subseteq\mathbb{C}$ 。若 $0,1\in P$ ，且 $P$ 对加、减、乘、除四则运算封闭，即对任意 $a,b\in P$ ，都有 $a+b,\ a-b,\ ab\in P, \qquad b\ne0\text{ 时，}\frac{a}{b}\in P,$ 则称 $P$ 为一个数域。

这里的运算均为通常的复数运算，除法只对非零除数进行。 $\mathbb{Q}$ 、 $\mathbb{R}$ 、 $\mathbb{C}$ 都是数域； $\mathbb{Z}$ 不是数域，因为 $1,2\in\mathbb{Z}$ 而 $1/2\notin\mathbb{Z}$ 。数域中的 $0$ 和 $1$ 分别满足 $a+0=a,\qquad a\cdot1=a\qquad(a\in P).$

命题 1.2 (最小数域). 任意数域 $P$ 都包含 $\mathbb{Q}$ ，因此 $\mathbb{Q}$ 是按包含关系而言的最小数域。

证明. 先证明 $\mathbb{N}\subseteq P$ ，这里约定 $0\in\mathbb{N}$ 。由定义， $0,1\in P$ ；若 $n\in P$ ，则由加法封闭性有 $n+1\in P$ 。根据数学归纳法，每个自然数都属于 $P$ 。

再由减法封闭性，对任意 $n\in\mathbb{N}$ ，有 $-n=0-n\in P$ ，故 $\mathbb{Z}\subseteq P$ 。

最后，对任意 $x\in\mathbb{Q}$ ，可写成 $x=p/q$ ，其中 $p,q\in\mathbb{Z}$ 且 $q\ne0$ 。因为 $p,q\in P$ ，由除法封闭性得到 $x\in P$ 。因此 $\mathbb{Q}\subseteq P$ ；而 $\mathbb{Q}$ 本身是数域，结论成立。 ◻

例题 1.3 ( $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ 是数域). 证明 $\mathbb{Q}(\sqrt2)=\{a+b\sqrt2:a,b\in\mathbb{Q}\}$ 是一个数域。

证明. 首先， $\mathbb{Q}(\sqrt2)\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$ ，且取 $(a,b)=(0,0)$ 、 $(1,0)$ ，分别得到 $0,1\in\mathbb{Q}(\sqrt2)$ 。

任取 $A=a+b\sqrt2$ 、 $B=c+d\sqrt2$ ，其中 $a,b,c,d\in\mathbb{Q}$ 。则 $\begin{align*} A\pm B&=(a\pm c)+(b\pm d)\sqrt2,\\ AB&=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt2. \end{align*}$ 各系数均为有理数，所以加、减、乘法封闭。

当 $B\ne0$ 时，先说明 $c^2-2d^2\ne0$ 。若 $c^2=2d^2$ ：当 $d=0$ 时， $c=0$ ，与 $B\ne0$ 矛盾；当 $d\ne0$ 时， $(c/d)^2=2$ ，与 $\sqrt2$ 为无理数矛盾。因此可以有理化分母： $\frac AB =\frac{(a+b\sqrt2)(c-d\sqrt2)}{c^2-2d^2} =\frac{ac-2bd}{c^2-2d^2} +\frac{bc-ad}{c^2-2d^2}\sqrt2 \in\mathbb{Q}(\sqrt2).$ 故除法也封闭， $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ 是数域。 ◻

例题 1.4 (含立方根的两项式集合). 判断集合 $S=\{a+b\sqrt[3]{2}:a,b\in\mathbb{Q}\}$ 是否为数域。

证明. 记 $\alpha=\sqrt[3]{2}$ 。先说明 $\alpha\notin\mathbb{Q}$ ：若 $\alpha=u/v$ ，其中 $u,v$ 为互素整数且 $v\ne0$ ，则 $u^3=2v^3$ 。于是 $u$ 为偶数，令 $u=2k$ ，得到 $v^3=4k^3$ ，故 $v$ 也为偶数，与互素矛盾。

因为 $\alpha\in S$ ，若 $S$ 对乘法封闭，应有 $\alpha^2\in S$ 。下面证明这一点不成立。

反设存在 $p,q\in\mathbb{Q}$ ，使得 $\alpha^2=p+q\alpha$ 。两边乘以 $\alpha$ ，再代入此式，得 $2=\alpha^3=p\alpha+q\alpha^2 =pq+(p+q^2)\alpha.$ 由于 $\alpha$ 是无理数，而 $p,q$ 均为有理数，必有 $p+q^2=0,\qquad pq=2.$ 从而 $p=-q^2$ ， $q^3=-2$ ，即 $q=-\sqrt[3]{2}\notin\mathbb{Q}$ ，矛盾。因此 $\alpha^2=\sqrt[3]{4}\notin S$ ， $S$ 对乘法不封闭，不是数域。 ◻

例题 1.5 ( $\mathbb{Q}(\pi)$ 是数域). 令 $\mathbb{Q}(\pi)=\left\{ \frac{f(\pi)}{g(\pi)}: f,g\in\mathbb{Q}[x],\ g(\pi)\ne0 \right\},$ 其中 $\mathbb{Q}[x]$ 表示所有有理系数多项式构成的集合。证明 $\mathbb{Q}(\pi)$ 是一个数域。

证明. 显然 $\mathbb{Q}(\pi)\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$ ，取常数多项式可知 $0,1\in\mathbb{Q}(\pi)$ 。任取 $A=\frac{f(\pi)}{g(\pi)},\qquad B=\frac{h(\pi)}{k(\pi)}, \qquad g(\pi)k(\pi)\ne0.$ 有理系数多项式的和、差、积仍为有理系数多项式，而 $A\pm B=\frac{(fk\pm hg)(\pi)}{(gk)(\pi)}, \qquad AB=\frac{(fh)(\pi)}{(gk)(\pi)}.$ 上述分母均非零，所以加、减、乘法封闭。当 $B\ne0$ 时， $h(\pi)\ne0$ ，从而 $\frac AB=\frac{(fk)(\pi)}{(gh)(\pi)}\in\mathbb{Q}(\pi),$ 除法也封闭，故 $\mathbb{Q}(\pi)$ 是数域。 ◻

这里要求的是分母的取值 $g(\pi)\ne0$ 。上述证明只用到四则运算，并不需要讨论 $\pi$ 的超越性。

2 向量及其运算

以下固定一个数域 $P$ ，并设 $n$ 为正整数。

定义 2.1 (行向量、列向量与 $P^n$ ). 若 $a_1,\ldots,a_n\in P$ ，则 $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ 称为 $P$ 上的一个 $n$ 维行向量，而 $\boldsymbol\alpha= \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} =(a_1,a_2,\ldots,a_n)^{\mathsf T}$ 称为 $P$ 上的一个 $n$ 维列向量，其中 $\mathsf T$ 表示转置。 $a_i$ 称为向量的第 $i$ 个分量。

本篇约定以列向量为主，记 $P^n$ 为 $P$ 上所有 $n$ 维列向量组成的集合。两个向量相等，当且仅当对应分量分别相等。

定义 2.2 (向量加法与数乘). 设 $\boldsymbol\alpha=(a_1,\ldots,a_n)^{\mathsf T}$ 、 $\boldsymbol\beta=(b_1,\ldots,b_n)^{\mathsf T}\in P^n$ ， $c\in P$ ，定义 $\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta =(a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n)^{\mathsf T}, \qquad c\boldsymbol\alpha=(ca_1,\ldots,ca_n)^{\mathsf T}.$ 由于 $P$ 对加法和乘法封闭，结果仍属于 $P^n$ 。这里 $c$ 称为标量， $c\boldsymbol\alpha$ 称为向量的数乘。

命题 2.3 (向量运算的八条基本法则). 对任意 $\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta,\boldsymbol\gamma\in P^n$ 及 $c,d\in P$ ，有

加法交换律： $\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta=\boldsymbol\beta+\boldsymbol\alpha$ ；
加法结合律： $(\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta)+\boldsymbol\gamma=\boldsymbol\alpha+(\boldsymbol\beta+\boldsymbol\gamma)$ ；
零向量： $\boldsymbol0=(0,\ldots,0)^{\mathsf T}$ ，且 $\boldsymbol\alpha+\boldsymbol0=\boldsymbol\alpha$ ；
负向量： $-\boldsymbol\alpha=(-a_1,\ldots,-a_n)^{\mathsf T}$ ，且 $\boldsymbol\alpha+(-\boldsymbol\alpha)=\boldsymbol0$ ；
数乘单位律： $1\boldsymbol\alpha=\boldsymbol\alpha$ ；
数乘结合律： $c(d\boldsymbol\alpha)=(cd)\boldsymbol\alpha$ ；
对向量加法的分配律： $c(\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta)=c\boldsymbol\alpha+c\boldsymbol\beta$ ；
对标量加法的分配律： $(c+d)\boldsymbol\alpha=c\boldsymbol\alpha+d\boldsymbol\alpha$ 。

证明. 按分量验证即可。例如，第 $i$ 个分量分别满足 $a_i+b_i=b_i+a_i,\qquad c(a_i+b_i)=ca_i+cb_i.$ 其余各式同样归结为数域 $P$ 中的相应运算律。结合以上加法与数乘， $P^n$ 称为 $P$ 上的 $n$ 维向量空间。 ◻

3 线性组合与线性表示

定义 3.1 (线性组合与线性表示). 设 $\boldsymbol\alpha_1,\ldots,\boldsymbol\alpha_m\in P^n$ ， $c_1,\ldots,c_m\in P$ 。向量 $c_1\boldsymbol\alpha_1+\cdots+c_m\boldsymbol\alpha_m =\sum_{i=1}^{m}c_i\boldsymbol\alpha_i$ 称为向量组 $\boldsymbol\alpha_1,\ldots,\boldsymbol\alpha_m$ 的一个线性组合。若 $\boldsymbol\beta\in P^n$ 且存在这样的系数，使得 $\boldsymbol\beta=\sum_{i=1}^{m}c_i\boldsymbol\alpha_i,$ 则称 $\boldsymbol\beta$ 可由该向量组线性表示。

线性组合是对有限个向量进行数乘后再相加；其中系数必须属于指定数域 $P$ 。取全部系数 $c_i=0$ ，可知零向量可以由任意给定的非空向量组线性表示。

4 线性方程组与高斯消元

定义 4.1 (数域上的线性方程组). 设 $a_{ij},b_i\in P$ ，形如 $\begin{cases} a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \hspace{3.5em}\vdots\\ a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases}$ 的方程组称为 $P$ 上的线性方程组。使全部方程同时成立的向量 $(x_1,\ldots,x_n)^{\mathsf T}\in P^n$ 称为它的一个解。

命题 4.2 (同解变换). 对线性方程组进行下列任一变换，解集不变：

交换两个方程的位置；
用 $P$ 中的一个非零数乘某个方程的两边；
将某个方程的 $c$ 倍加到另一个方程上，其中 $c\in P$ 。

证明. 原方程组的每个解显然满足变换后的方程组。反过来，三类变换都可逆：交换后再次交换；乘以非零数 $c$ 后再乘以 $c^{-1}$ ；加上某个方程的 $c$ 倍后，再加上它的 $-c$ 倍。因此新方程组的每个解也满足原方程组，故解集相同。 ◻

高斯消元法通过上述变换逐步消去未知量，将方程组化为便于求解的阶梯形，再进行回代。对增广矩阵操作时，这三类变换称为初等行变换，分别记为 $R_i\leftrightarrow R_j,\qquad R_i\leftarrow cR_i\ (c\ne0),\qquad R_i\leftarrow R_i+cR_j\ (i\ne j).$ 变换必须作用于整个方程，包括等号右端的常数项。数域对四则运算的封闭性保证了消元过程中所产生的系数仍属于 $P$ 。

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