数学分析（一）1.1：实数

证明. （1）反设 $a+x\in\mathbb{Q}$。由有理数对减法封闭， $x=(a+x)-a\in\mathbb{Q}$，与 $x$ 为无理数矛盾。

（2）反设 $ax\in\mathbb{Q}$。由于 $a\in\mathbb{Q}$ 且 $a\ne0$， 有 $x=(ax)/a\in\mathbb{Q}$，仍与条件矛盾。 ◻

证明. 反设 $a\ne b$，则 $|a-b|>0$。取 $\varepsilon=|a-b|$，由题设得到 $|a-b|<|a-b|$，矛盾。因此 $a=b$。 ◻

证明. 由三角不等式， $$|x-1|+|x-2|=|x-1|+|2-x| \ge |(x-1)+(2-x)|=1.$$ 等号成立当且仅当 $(x-1)(2-x)\ge0$，即 $x\in[1,2]$。 ◻

证明. 由于 $b>0$、$b+x>0$，有 $$\frac{a+x}{b+x}-1=\frac{a-b}{b+x},\qquad \frac ab-\frac{a+x}{b+x}=\frac{x(a-b)}{b(b+x)}.$$ 当 $a>b$ 时，两式右端均为正，故 $$1<\frac{a+x}{b+x}<\frac ab.$$ 当 $a<b$ 时，两式右端均为负，故 $$\frac ab<\frac{a+x}{b+x}<1.$$ ◻

证明. 反设 $\sqrt p=m/n$，其中 $m,n\in\mathbb{N}_{+}$ 且 $\gcd(m,n)=1$。平方得 $$m^2=pn^2.$$ 若 $n>1$，取 $n$ 的一个素因子 $q$。由 $q\mid n$ 得 $q\mid m^2$； 由于 $q$ 是素数，可得 $q\mid m$。这与 $\gcd(m,n)=1$ 矛盾。 因此 $n=1$，从而 $p=m^2$，与 $p$ 不是完全平方数矛盾。 故 $\sqrt p$ 是无理数。 ◻