高等代数（一）1.3：行列式性质与按行（列）展开 • xy0v0's Blog

1 对换与排列奇偶性

定理 1.1. 排列中任意两个数对换，排列的奇偶性改变。

证明. 相邻两数对换时，只有这一对数的逆序状态改变，逆序数变化 $1$ 。若两数之间隔着 $s$ 个数，则这次对换可分解为 $2s+1$ 次相邻对换，故奇偶性仍改变。 ◻

命题 1.2. 将排列变为自然顺序所需的对换次数，与原排列的逆序数同奇偶。

证明. 不断交换相邻的逆序数对，逆序数每次减少 $1$ ，最终成为自然顺序。任意一次对换都改变奇偶性，所以其他对换过程的次数也与原逆序数同奇偶。 ◻

2 行列式的性质

命题 2.1. 对任意方阵 $A$ ，有 $\det A^{\mathsf T}=\det A$ 。若 $A$ 为上三角形或下三角形矩阵，则 $\det A=\prod_{i=1}^{n}a_{ii}.$

证明. 转置行列式的展开式中以 $\sigma^{-1}$ 代替 $\sigma$ ；两者的奇偶性相同，故 $\det A^{\mathsf T}=\det A$ 。上三角形行列式的非零项须满足 $\sigma(i)\le i$ 。由 $\sum_i\sigma(i)=\sum_i i$ ，可知只有 $\sigma(i)=i$ 可能非零。下三角形情形由转置得到。 ◻

定理 2.2. 行列式分别对每一行、每一列线性。交换两行（列），行列式变号。因此：

一行（列）乘 $c$ ，行列式乘 $c$ ；
两行（列）相同或成比例，行列式为 $0$ ；
把一行（列）的 $c$ 倍加到另一行（列），行列式不变。

证明. 排列展开式的每项恰含给定行中的一个元素，故对该行线性。交换两行使每项对应的排列经过一次对换，因此变号。两行相同时，行列式等于自身的相反数，故为 $0$ ；若一行是另一行的倍数，由行线性提出该倍数后，也归结为两行相同的情形。第三条由线性及第二条推出。列的结论由转置性质得到。 ◻

3 按一行（列）展开

划去 $a_{ij}$ 所在的行与列，所得行列式称为余子式，记作 $M_{ij}$ 。对应的代数余子式为 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$

定理 3.1. 设 $D=\det A$ 。对任意固定的行 $i$ 或列 $j$ ，有 $D=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}, \qquad D=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}.$

证明. 将第 $i$ 行写为 $\sum_j a_{ij}\boldsymbol e_j^{\mathsf T}$ ，并按该行的线性展开。把含 $\boldsymbol e_j^{\mathsf T}$ 的行列式的第 $i$ 行、第 $j$ 列移到末尾，分别需 $n-i$ 、 $n-j$ 次对换；此时末行只有末列的 $1$ 非零。按排列定义，非零项都必须取这个 $1$ ，其余行列的排列符号不变，带符号求和正是 $M_{ij}$ 。因而 $a_{ij}$ 的系数为 $(-1)^{(n-i)+(n-j)}M_{ij}=A_{ij}$ 。按列展开同理。 ◻

由两行（列）相同的行列式为零，还得到 $\sum_{r=1}^{n}a_{hr}A_{ir}= \begin{cases}D,&h=i,\\0,&h\ne i,\end{cases} \qquad \sum_{r=1}^{n}a_{rk}A_{rj}= \begin{cases}D,&k=j,\\0,&k\ne j.\end{cases}$

4 课后作业

第二章习题 4

判定排列 $n(n-1)\cdots21$ 的逆序数，并讨论它的奇偶性。

解. 任意两数均构成逆序，故逆序数为 $(n-1)+(n-2)+\cdots+1=\frac{n(n-1)}2.$ 当 $n\equiv0,1\pmod4$ 时为偶排列；当 $n\equiv2,3\pmod4$ 时为奇排列。 ◻

第二章习题 6

求六阶行列式展开式中 $a_{23}a_{31}a_{42}a_{56}a_{14}a_{65}$ 与 $a_{32}a_{43}a_{14}a_{51}a_{66}a_{25}$ 两项的符号。

解. 按行指标排列因子，第一项的列指标排列为 $431265$ ，逆序数为 $3+2+0+0+1+0=6$ ；第二项的列指标排列为 $452316$ ，逆序数为 $3+3+1+1+0+0=8$ 。两项均带正号。 ◻

第二章习题 8（1）（3）

按定义计算两个 $n$ 阶行列式：第（1）小题的非零元素为 $a_{i,n+1-i}=i$ （ $1\le i\le n$ ）；第（3）小题的非零元素为 $a_{i,n-i}=i$ （ $1\le i<n$ ）及 $a_{nn}=n$ 。

解. 第（1）小题仅有列指标排列 $n(n-1)\cdots21$ 的一项非零，其逆序数为 $\binom n2$ ，故 $D_1=(-1)^{\binom n2}n!.$ 第（3）小题仅有列指标排列 $(n-1)(n-2)\cdots1n$ 的一项非零，其逆序数为 $\binom{n-1}{2}$ ，故 $D_3=(-1)^{\binom{n-1}{2}}n!.$ ◻

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