高等代数（一）1.4：矩阵与行列式展开 • xy0v0's Blog

1 矩阵与行列式

定义 1.1. 设 $P$ 为数域。把 $mn$ 个数 $a_{ij}\in P$ 排成 $m$ 行、 $n$ 列的矩形数表 $A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix},$ 称为一个 $m\times n$ 矩阵，简记为 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ 。其中 $a_{ij}$ 是第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素。当 $m=n$ 时，称 $A$ 为 $n$ 阶方阵。

矩阵本身是一张数表。对 $n$ 阶方阵 $A$ ，按排列定义计算得到的数称为它的行列式，记作 $\det A$ 或 $|A|$ 。例如 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}, \qquad |A|=1\cdot4-2\cdot3=-2.$ 这里 $A$ 是矩阵， $|A|$ 是数；非方阵不定义通常意义下的行列式。

将矩阵的第 $j$ 列记为 $\boldsymbol\alpha_j=(a_{1j},a_{2j},\ldots,a_{mj})^{\mathsf T},$ 则 $A=(\boldsymbol\alpha_1,\ldots,\boldsymbol\alpha_n)$ 。因此， $n$ 阶行列式也可看成一个运算：输入 $n$ 个 $n$ 维列向量，输出一个数。记号 $\det(\boldsymbol\alpha_1,\ldots,\boldsymbol\alpha_n)$ 就是以这些向量为列的方阵的行列式。

转置

定义 1.2. 把矩阵 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ 的行与列互换，得到的 $n\times m$ 矩阵称为 $A$ 的转置矩阵，记为 $A^{\mathsf T}$ 。若 $B=A^{\mathsf T}$ ，则 $b_{ij}=a_{ji}$ 。

对方阵，有 $\det A^{\mathsf T}=\det A$ 。用排列定义可写成 $\det A^{\mathsf T} =\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{\tau(\sigma)}\prod_{i=1}^n a_{\sigma(i),i} =\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{\tau(\sigma)}\prod_{k=1}^n a_{k,\sigma^{-1}(k)}.$ 逆排列与原排列同奇偶，且 $\sigma^{-1}$ 也遍历全部排列，故末式就是 $\det A$ 。这里 $S_n$ 表示所有 $n$ 元排列的集合， $\tau(\sigma)$ 表示逆序数。因此，行与列的性质相对应。

2 初等变换与行列式的变化

定义 2.1. 以下三种操作称为矩阵的初等行变换：

用非零数 $c$ 乘某一行，记为 $r_i\leftarrow c r_i$ ；
把一行的 $c$ 倍加到另一行，记为 $r_i\leftarrow r_i+c r_j$ ，其中 $i\ne j$ ；
交换两行，记为 $r_i\leftrightarrow r_j$ ，其中 $i\ne j$ 。

对列作同样的操作，称为初等列变换。

这些操作对矩形矩阵也适用。若 $A$ 为方阵、变换后得到 $B$ ，则由行列式性质： $\begin{array}{c|c} \text{对矩阵所作的操作}&\text{行列式的变化}\\ \hline r_i\leftarrow c r_i&\det B=c\det A\\ r_i\leftarrow r_i+c r_j&\det B=\det A\\ r_i\leftrightarrow r_j&\det B=-\det A \end{array}$ 列变换的结论相同。矩阵经过变换后通常改变；上表说明的是它的行列式怎样变化。

第一类变换要求 $c\ne0$ ，是为了能用乘 $1/c$ 的操作还原。但作为行列式的数乘性质， $c=0$ 时等式仍成立，此时产生零行，行列式为零。还应区分“某一行乘 $c$ ”与“整个矩阵乘 $c$ ”：后者把每一行都乘 $c$ ，故 $\det(cA)=c^n\det A.$

3 从列的多重线性到展开公式

固定其余列，只拆开一列

行列式对每一列分别线性。例如固定第 $j$ 列以外的各列，有 $\begin{align*} &\det(\boldsymbol\alpha_1,\ldots,s\boldsymbol u+t\boldsymbol v,\ldots,\boldsymbol\alpha_n)\\ &\quad=s\det(\boldsymbol\alpha_1,\ldots,\boldsymbol u,\ldots,\boldsymbol\alpha_n) +t\det(\boldsymbol\alpha_1,\ldots,\boldsymbol v,\ldots,\boldsymbol\alpha_n). \end{align*}$ 每次只对一列使用线性，其他列保持不动；这就是列的多重线性的含义。它不能理解为对整个矩阵的线性，一般并没有 $\det(A+B)=\det A+\det B$ 。

设 $\boldsymbol e_i$ 为第 $i$ 个分量等于 $1$ 、其余分量为 $0$ 的标准单位列向量。任意第 $j$ 列都可写成 $\boldsymbol\alpha_j=\sum_{i=1}^n a_{ij}\boldsymbol e_i.$ 代入行列式并利用第 $j$ 列的线性，得 $\det A=\sum_{i=1}^n a_{ij} \det(\boldsymbol\alpha_1,\ldots,\boldsymbol\alpha_{j-1}, \boldsymbol e_i,\boldsymbol\alpha_{j+1},\ldots,\boldsymbol\alpha_n).$ 式中固定的是列号 $j$ ，求和指标 $i$ 遍历这一列的各行。原行列式由此拆成 $n$ 项，每一项中的第 $j$ 列都只剩一个 $1$ 。

余子式与代数余子式

定义 3.1. 在 $n$ 阶方阵 $A$ 中（ $n\ge2$ ），划去元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列，剩下的 $n-1$ 阶方阵的行列式，称为 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$ 。数 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 称为它的代数余子式。

这里的 $A_{ij}$ 是一个数，与矩阵 $A$ 本身不同。因子 $(-1)^{i+j}$ 的符号按棋盘交替排列： $\begin{pmatrix}+&-&+&\cdots\\-&+&-&\cdots\\+&-&+&\cdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix}.$

把上式中第 $j$ 列被替换为 $\boldsymbol e_i$ 的矩阵记为 $B$ 。将 $B$ 的第 $i$ 行依次交换到第一行，再将第 $j$ 列依次交换到第一列，共需 $(i-1)+(j-1)$ 次对换，得到 $C=\begin{pmatrix}1&*\\0&B_{ij}\end{pmatrix}, \qquad \det C=(-1)^{i+j-2}\det B.$ 其中 $B_{ij}$ 正是从 $A$ 删去第 $i$ 行、第 $j$ 列后的矩阵，其行列顺序未变。由排列定义， $C$ 的第一列只有第一项非零，非零乘积必须选取左上角的 $1$ ；其余元素的带符号求和恰为 $\det B_{ij}=M_{ij}$ 。因此 $\det B=(-1)^{i+j}M_{ij}=A_{ij}.$ 所以展开式中的符号来自行、列交换的次数，而余子式来自删去那个 $1$ 所占的行与列。

按一行或一列展开

定理 3.2. 设 $D=\det A$ 。固定第 $j$ 列，有 $\boxed{D=\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij} =\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}.}$ 固定第 $i$ 行，有 $\boxed{D=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij} =\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}.}$

第一式由上述列分解得到；第二式可对转置矩阵应用第一式得到。这把一个 $n$ 阶行列式化为若干个 $n-1$ 阶行列式。计算时通常选择零较多的一行或一列，以减少实际需要计算的余子式。

例题 3.3. 计算 $D=\begin{vmatrix}1&0&2\\3&4&5\\0&0&6\end{vmatrix}$ 。

解. 按第二列展开，只有 $a_{22}=4$ 非零。划去第二行、第二列，得 $M_{22}=\begin{vmatrix}1&2\\0&6\end{vmatrix}=6, \qquad D=4(-1)^{2+2}M_{22}=24.$ 也可以先作 $r_2\leftarrow r_2-3r_1$ ，得到上三角形行列式，再取主对角线元素的乘积 $1\cdot4\cdot6=24$ 。 ◻

不同行（列）的对应乘积之和

命题 3.4. 某一行的元素与另一行对应位置的代数余子式相乘，再求和，结果为零。连同展开公式，有 $\sum_{r=1}^n a_{hr}A_{ir} =\begin{cases}D,&h=i,\\0,&h\ne i.\end{cases}$ 相应的列形式为 $\sum_{r=1}^n a_{rk}A_{rj} =\begin{cases}D,&k=j,\\0,&k\ne j.\end{cases}$

证明. 当 $h=i$ 时，就是按第 $i$ 行展开。当 $h\ne i$ 时，把 $A$ 的第 $i$ 行替换为第 $h$ 行，得到两行相同的矩阵，行列式为零。沿替换后的第 $i$ 行展开；由于计算余子式时会删去这一行，代数余子式仍为原来的 $A_{ir}$ ，故展开式正是 $\sum_r a_{hr}A_{ir}=0$ 。列的结论同理。 ◻

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