数学分析（一）1.2：数集与确界原理

1 邻域

定义 1.1 (邻域与去心邻域). 设 $a\in\mathbb{R}$ ， $\delta>0$ 。点 $a$ 的 $\delta$ 邻域为 $U(a;\delta)=(a-\delta,a+\delta) =\{x\in\mathbb{R}:|x-a|<\delta\}.$ 去掉中心点 $a$ ，得到去心邻域 $U^{\circ}(a;\delta)=(a-\delta,a)\cup(a,a+\delta) =\{x\in\mathbb{R}:0<|x-a|<\delta\}.$ 左邻域、右邻域分别记为 $U_-(a;\delta)=(a-\delta,a],\qquad U_+(a;\delta)=[a,a+\delta).$

注意：这里的左、右邻域均包含 $a$ ；去心时再去掉 $a$ 。

2 数集的有界性

以下讨论非空实数集 $S\subseteq\mathbb{R}$ 。

定义 2.1 (上界、下界与有界集).

若存在 $M\in\mathbb{R}$ ，使得对所有 $x\in S$ 都有 $x\le M$ ，则称 $M$ 为 $S$ 的一个上界，称 $S$ 有上界。
若存在 $L\in\mathbb{R}$ ，使得对所有 $x\in S$ 都有 $x\ge L$ ，则称 $L$ 为 $S$ 的一个下界，称 $S$ 有下界。
若 $S$ 既有上界又有下界，则称 $S$ 为有界集。

命题 2.2 (有界性的等价刻画). $S$ 有界，当且仅当存在 $K>0$ ，使得对所有 $x\in S$ 都有 $|x|\le K$ 。

证明. 若 $S$ 有界，设 $L,M$ 分别为其下界和上界，取 $K=\max\{|L|,|M|\}+1>0.$ 则对任意 $x\in S$ ，有 $-K\le L\le x\le M\le K$ ，故 $|x|\le K$ 。反之，若 $|x|\le K$ 对所有 $x\in S$ 成立，则 $-K\le x\le K$ ，所以 $-K$ 和 $K$ 分别为下界和上界， $S$ 有界。 ◻

3 有界性例题

例题 3.1 (正弦函数值组成的数集). 证明 $A=\{\sin t:t\in[-\pi/2,\pi/2]\}$ 有界。

证明. 对任意 $x\in A$ ，存在 $t\in[-\pi/2,\pi/2]$ ，使得 $x=\sin t$ 。于是 $|x|=|\sin t|\le1$ 。取 $K=1$ ，即知 $A$ 有界。 ◻

例题 3.2 (正整数倒数组成的数集). 证明 $B=\{1/n:n\in\mathbb{N}_{+}\}=\{1,1/2,1/3,\ldots\}$ 有界。

证明. 对任意 $n\in\mathbb{N}_{+}$ ，有 $0<1/n\le1$ ，因此对任意 $x\in B$ ，都有 $|x|\le1$ 。所以 $B$ 有界。 ◻

4 上确界、下确界与确界原理

定义 4.1 (上确界). 实数 $\beta$ 称为 $S$ 的上确界，记作 $\beta=\sup S$ ，若它满足：

上界性： $\forall x\in S,\ x\le\beta$ ；
任意逼近性： $\forall\varepsilon>0,\ \exists x_{\varepsilon}\in S$ ，使得 $\beta-\varepsilon<x_{\varepsilon}$ 。

第二条说明，任何小于 $\beta$ 的实数都不是 $S$ 的上界。因此，上确界就是最小的上界。

定义 4.2 (下确界). 实数 $\alpha$ 称为 $S$ 的下确界，记作 $\alpha=\inf S$ ，若它满足：

下界性： $\forall x\in S,\ x\ge\alpha$ ；
任意逼近性： $\forall\varepsilon>0,\ \exists x_{\varepsilon}\in S$ ，使得 $x_{\varepsilon}<\alpha+\varepsilon$ 。

第二条说明，任何大于 $\alpha$ 的实数都不是 $S$ 的下界。因此，下确界就是最大的下界。

注意：上、下确界不一定属于 $S$ 。若 $\sup S\in S$ ，它就是最大值；若 $\inf S\in S$ ，它就是最小值。

定理 4.3 (确界原理). 非空、有上界的实数集必有上确界；非空、有下界的实数集必有下确界。

5 确界例题： $1-1/n$

例题 5.1. 设 $S=\left\{1-\frac1n:n\in\mathbb{N}_{+}\right\} =\left\{0,\frac12,\frac23,\frac34,\ldots\right\}.$ 证明 $\inf S=0$ ， $\sup S=1$ 。

证明. 第一步：证明 $\inf S=0$ 。

对任意 $n\in\mathbb{N}_{+}$ ，由 $n\ge1$ 得 $0\le1-\frac1n<1.$ 故 $0$ 是 $S$ 的一个下界。对任意 $\varepsilon>0$ ，取 $n=1$ ，则 $x_{\varepsilon}=1-\frac11=0\in S, \qquad x_{\varepsilon}=0<0+\varepsilon.$ 因此，下确界定义中的两条条件均满足， $\inf S=0$ 。

第二步：证明 $\sup S=1$ 。

由 $1-1/n<1$ 可知， $1$ 是 $S$ 的一个上界。任取 $\varepsilon>0$ ，为了找到 $x_{\varepsilon}\in S$ 使得 $x_{\varepsilon}>1-\varepsilon$ ，只需选择正整数 $n$ 满足 $1-\frac1n>1-\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad \frac1n<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad n>\frac1\varepsilon.$ 具体地，取 $n=\left\lfloor\frac1\varepsilon\right\rfloor+1,$ 其中 $\lfloor t\rfloor$ 表示不超过 $t$ 的最大整数。因为 $\lfloor t\rfloor\le t<\lfloor t\rfloor+1$ ，所以此时 $n\in\mathbb{N}_{+}$ 且 $n>1/\varepsilon$ 。于是 $\frac1n<\varepsilon, \qquad 1-\varepsilon<1-\frac1n<1.$ 这就验证了任意逼近性，故 $\sup S=1$ 。 ◻

6 课后作业

习题 1.2，第 2 题

题目：设 $S\subseteq\mathbb{R}$ 为非空数集，给出“ $S$ 无上界”和“ $S$ 无界”的定义。

解：

$S$ 无上界，是指 $\forall M\in\mathbb{R},\quad\exists x\in S,\quad x>M.$
$S$ 无界，是指 $\forall M>0,\quad\exists x\in S,\quad |x|>M.$

习题 1.2，第 3 题

题目：证明数集 $S=\{2-x^2:x\in\mathbb{R}\}$ 有上界而无下界。

证明. 对任意 $x\in\mathbb{R}$ ，都有 $2-x^2\le2$ ，故 $2$ 是 $S$ 的一个上界。

任取 $L\in\mathbb{R}$ 。若 $L\le2$ ，取 $x=\sqrt{3-L}$ ，则 $y=2-x^2=L-1<L,\qquad y\in S.$ 若 $L>2$ ，取 $x=0$ ，则 $y=2\in S$ 且 $y<L$ 。因此任意实数 $L$ 都不是 $S$ 的下界，故 $S$ 无下界。 ◻

习题 1.2，第 4 题（3）

题目：求 $S=(0,1)\setminus\mathbb{Q}$ 的上、下确界，并依定义验证。

证明. 对任意 $x\in S$ ，有 $0<x<1$ ，故 $0$ 是下界， $1$ 是上界。

任取 $\varepsilon>0$ ，由正整数的无界性，可取正整数 $n>\max\left\{2,\frac{\sqrt2}{\varepsilon}\right\}.$ 令 $u=\sqrt2/n$ 。因为 $\sqrt2$ 是无理数， $1/n$ 是非零有理数，所以 $u$ 是无理数，且 $0<u<1,\qquad u<\varepsilon.$ 于是 $u\in S$ 且 $u<0+\varepsilon$ ，验证了下确界的任意逼近性，故 $\inf S=0$ 。

再令 $v=1-u$ ，则 $v$ 也是无理数，且 $0<v<1,\qquad v>1-\varepsilon.$ 因此 $v\in S$ ，验证了上确界的任意逼近性，故 $\sup S=1$ 。 ◻

习题 1.2，第 4 题（4）

题目：求 $S=\{1-2^{-n}:n\in\mathbb{N}_{+}\}$ 的上、下确界，并依定义验证。

证明. 对任意 $n\in\mathbb{N}_{+}$ ，都有 $\frac12\le1-2^{-n}<1$ 。故 $1/2$ 是下界， $1$ 是上界。

任取 $\varepsilon>0$ ，取 $n=1$ ，则 $1-2^{-1}=1/2\in S$ ，且 $1/2<1/2+\varepsilon$ ，所以 $\inf S=1/2$ 。

任取 $\alpha<1$ ，令 $t=\log_2\frac1{1-\alpha},\qquad n=\max\{1,\lfloor t\rfloor+1\}.$ 则 $n\in\mathbb{N}_{+}$ 且 $n>t$ ，从而 $1-\frac1{2^n}>1-\frac1{2^t}=\alpha.$ 这说明任意小于 $1$ 的实数都不是 $S$ 的上界，故 $\sup S=1$ 。 ◻

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